DBMS笔记 03 关系数据理论

第三章 关系数据理论

1. 关系数据结构的形式化定义

• 关系：笛卡尔积的子集。
• 域（Domain）：属性的取值范围。
• 笛卡尔积：若 D1, D2, …, Dn 为 n 个域，笛卡尔积 D1×D2×…×Dn 的元素称为 n 元组。
• 关系模式：形式化描述，记作 R(U, D, Dom, F)。
• 度（Degree）：关系中属性的个数。
• 基数（Cardinality）：关系中元组的个数。

举例：学生表 Student(Sno, Name, Age, Sex)

• 度 = 4 （四个属性）
• 基数 = n （多少行记录）

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2. 基本术语

• 元组（Tuple）：一行。
• 分量（Component）：元组中的单个属性值（单元格）。
• 属性（Attribute）：一列。
• 候选码（Candidate Key）：能唯一标识元组的最小属性集。
• 主码（Primary Key）：候选码中选定的一个。
• 全码（All-key）：所有属性都是码。

注：候选码的每个属性均为主属性；非候选码中的属性称为非主属性。

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3. 关系操作

关系代数操作可分为两类：

(1) 基本操作

1. 选择（Select）：σ 条件 (R)
   • 从关系 R 中选取满足条件的元组。
   • 类似 SQL 的 WHERE。
   • 符号：σ（sigma）。
2. 投影（Project）：π 属性 (R)
   • 从关系 R 中抽取若干列，去除重复。
   • 类似 SQL 的 SELECT column。
   • 符号：π（pi）。
3. 并（Union）：R ∪ S
   • 要求 R 和 S 的模式相同。
   • 输出同时在 R 或 S 的元组。
4. 差（Difference）：R − S
   • 要求 R 和 S 的模式相同。
   • 输出在 R 中但不在 S 的元组。
5. 笛卡尔积（Cartesian Product）：R × S
   • 输出 R 与 S 所有元组的组合。
   • 度 = R 的度 + S 的度。
6. 连接（Join）：R ⨝ S
   • 按条件将两个关系连接。
   • 特殊形式：
     • 自然连接（同名属性自动匹配）
     • 等值连接（属性相等条件）
     • 外连接（Left/Right Outer Join，保留一边的所有元组）。
7. 除法（Division）：R ÷ S
   • 查询“在 R 中和 S 所有值都匹配的元组”。
   • 常用于“选修所有课程的学生”。

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(2) 扩展

• 交（Intersection）：R ∩ S
• 广义笛卡尔积：更复杂的连接。
• 赋值（Assignment）：给查询结果起名字。

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4. 关系操作与 SQL 的对应

• 选择 σ → SQL 的 WHERE
• 投影 π → SQL 的 SELECT
• 并 ∪ → SQL 的 UNION
• 差 − → SQL 的 EXCEPT 或 MINUS
• 笛卡尔积 × → SQL 的 FROM R, S
• 连接 ⨝ → SQL 的 JOIN
• 除 ÷ → SQL 没有直接语法，一般用 NOT EXISTS 或子查询实现

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5. 关系代数运算的性质

• 交换律：R ∪ S = S ∪ R
• 结合律：R ∪ (S ∪ T) = (R ∪ S) ∪ T
• 投影选择可交换：π(σ(R)) = σ(π(R)) （条件中只涉及投影属性时）
• 笛卡尔积结合性： (R × S) × T = R × (S × T)

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6. 本章重点

• 关系模式的度 = 属性个数，基数 = 元组个数。
• 属性名必须唯一，元组中属性值必须来自域，分量不可再分。
• 候选码：唯一且最小；全码：所有属性一起是候选码。
• 基本操作必须掌握其符号：σ、π、∪、−、×、⨝、÷。
• 外连接要区分：
  • 左外连接：保留左边全部元组。
  • 右外连接：保留右边全部元组。
• SQL 对应：σ→WHERE，π→SELECT，∪→UNION，−→EXCEPT，×→FROM，⨝→JOIN，÷→复杂子查询。

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极简速记

• 度=列数，基数=行数
• 行=元组，列=属性，单元格=分量
• 候选码=唯一最小属性集，全码=所有属性
• 操作口诀：选投并差积，交连除
• 符号：σ 选择，π 投影，∪ 并，− 差，× 笛卡尔积，⨝ 连接，÷ 除
• 外连接：左保左，右保右
• SQL 对应：σ→WHERE，π→SELECT，∪→UNION，−→EXCEPT，⨝→JOIN