计组笔记 02 计算机数据的表示和运算

第2章 计算机数据的表示和运算

2.1 数制与编码

1. 常用数制

• 二进制 (Binary, B)：存储与运算的基础，硬件实现简单。
• 八进制 (Octal, O)：每3位二进制对应1位八进制。
• 十进制 (Decimal, D)：人类常用。
• 十六进制 (Hex, H)：每4位二进制对应1位十六进制。

进制表示公式：

其中：r为基数，Di为第i位数码。

2. 数制转换方法

• 十进制 → 其他进制
  • 整数部分：除基取余，逆序排列。
  • 小数部分：乘基取整，顺序排列。
• 其他进制 → 十进制
  逐位展开计算即可。

3. BCD码（Binary-Coded Decimal）

• 用二进制4位表示1位十进制数（0–9），如：
  • (9)₁₀ = (1001)BCD
• 常见扩展码：8421码、2421码、余3码。

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2.2 定点数表示与运算

1. 定点数分类

• 无符号数：仅表示正数。
• 有符号数：最高位为符号位，0=正，1=负。

2. 常见表示方法

• 原码：符号位+绝对值。
• 反码：正数同原码，负数=符号位1+数值逐位取反。
• 补码：正数同原码，负数=反码+1（运算常用）。

范围：

3. 运算规则

补码加法器统一实现加减法：

算术移位：带符号数左移相当于乘2，右移相当于除2。

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2.3 浮点数表示与运算

1. 浮点数表示

• M 尾数（带符号，小数形式）
• E 阶码（带符号，决定数值范围）
• R 基数（常取2或16）

2. IEEE 754 标准（32位单精度）

• 1位符号S + 8位阶码E + 23位尾数M
• 阶码采用 移码（偏移127）

特殊值：

• E=255 且M≠0 → NaN
• E=255 且M=0 → ±∞

3. 浮点数运算步骤

1. 对阶 → 比较指数，尾数右移对齐
2. 尾数加减
3. 规格化 → 保持1.xxxx形式
4. 舍入处理
5. 判断溢出

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2.4 算术逻辑单元（ALU）

• 功能：加法器、减法器、乘法器、除法器、逻辑运算。
• 常见电路：
  • 串行加法器（逐位）
  • 并行加法器（加快运算，可能有进位延迟）

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重点公式

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易混淆

• 补码与反码区别：负数补码=反码+1。
• 移码：用于浮点数阶码，偏置127（单精度）。
• 移位运算：逻辑移位填0，算术移位符号位不变。

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习题高频考点

1. 进制转换：二进制 ↔ 八进制 ↔ 十六进制；小数部分要注意乘除法取整。
2. 定点/浮点表示范围：符号位与数值位的区别；定点范围是 $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$；浮点数考 IEEE 754 单精度格式（1+8+23）。
3. 原码、反码、补码：正数相同，负数的反码=按位取反+补1；补码可唯一表示0，考试常考“最小负数”。
4. 字符编码：ASCII 码7位（或8位扩展）；常考范围是0–127。
5. 运算溢出判断：补码加减法时，正溢出/负溢出规则；移位运算要区分算术移位与逻辑移位。
6. 浮点数运算步骤：对阶 → 尾数运算 → 规格化 → 舍入 → 溢出判断；常考舍入与规格化细节。
7. 校验码：奇偶校验、循环冗余校验 CRC，考原理和计算。
8. 性能指标：MIPS、MFLOPS 公式，CPI 计算，常考“已知频率、CPI和指令数，算执行时间”。

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速记

• 数制转换口诀：整数除基倒，小数乘基顺。
• 补码范围：-2^(n-1) ~ 2^(n-1)-1
• 浮点数=符号+阶码+尾数，阶码=指数+127。
• 浮点运算五步：对阶 → 运算 → 规格化 → 舍入 → 溢出判定。
• BCD码：8421最常考，余3码常用于自补。